Математическое мышление - Джо Боулер

Ученик: Как он только что сказал, если есть два равных угла, сумма величин которых равна 180°, это должны быть два прямых угла. Поскольку величины острых углов всегда меньше 90°, сумма величин двух острых углов не будет больше 180°.

Учитель: Следовательно, если два угла смежные, они должны быть тупыми?

Ученик: Нет.

Учитель: Нет? Почему? Думаю, если два угла являются смежными, они должны быть тупыми.

Ученик: Я считаю, что это может быть один острый и один тупой угол.

Учитель: Он говорит, что, хотя два смежных угла не могут быть острыми, это могут быть один острый и один тупой угол.

Ученик: Например, как угол 1 и угол 5 в том вопросе. Один острый, другой тупой.

Учитель: Хорошо. Если есть два смежных угла, хотя бы один из них острый.

Другие ученики: Нет, хотя бы один угол должен быть больше 90°.

Ученик: Есть исключение: когда оба угла прямые.

Уроки в США и Китае кардинально отличаются друг от друга. В США учитель ставит ученикам процедурные вопросы, а те дают единственный возможный ответ. Вопросы учителя, будто взятые из учебника, касались простого примера с углами, а ученики давали определения, которые они изучили. На уроке в Китае учительница не ставила вопросы в духе «закончите это предложение»; она выслушивала идеи учеников и формулировала провокационные утверждения, которые помогали ученикам глубже понять суть изучаемого материала. Утверждения учительницы побуждали учеников выдвигать в ответ гипотезы и аргументы, размышляя о соотношениях между разными углами.

Во второй части урока основное внимание уделялось диаграммам, которые могли нарисовать ученики, чтобы проиллюстрировать изученные соотношения между углами. Дети составляли разные диаграммы, меняя направление и двигая по кругу лучи и стороны треугольников. Они обсуждали идеи друг с другом и с учительницей, задавая вопросы по поводу этих идей и развивая их до такой глубины, какой я не могла себе даже представить, пока не побывала на том уроке. Когда ученики обсуждали диаграммы соотношений между углами, один из них сказал: «Это просто захватывающе». Вряд ли найдется много учеников, которые пришли бы к такому выводу на уроке в США.

В ходе видеоисследования TIMSS был проведен сравнительный анализ подхода к преподаванию в США и других странах. По результатам был сделан вывод о том, что в США уроки «в милю шириной и дюйм глубиной» (Schmidt et al., 2002), а в других странах, особенно в Японии, они носят более концептуальный и глубокий характер, подразумевают более активное обсуждение изучаемого материала учениками. Этот анализ позволил установить связь между глубиной обсуждения и работы в Японии (в отличие от США) и более высоким уровнем успеваемости в стране (Schmidt et al., 2002; Schmidt, McKnight, & Raizen, 1997).

Многие родители не понимают важность математической глубины; они ошибочно полагают, что их детям пойдет на пользу ускоренное изучение материала. Такие родители делают все возможное, чтобы их дети досрочно переходили в следующие классы и им как можно раньше преподавали математику на углубленном уровне. Но изучение математики — не гонка, а математическая глубина вдохновляет учеников и обеспечивает их вовлеченность и эффективную работу, готовя их к углубленному изучению математики в будущем. Именно ученики, которых вынуждают быстрее проходить материал, чаще всего при первой же возможности бросают математику (Jacob, 2015; also Boaler, 2015b). Необходимо, чтобы все ученики занимались математикой с полной отдачей; ни для кого она не должна быть слишком легкой и никого нельзя заставлять повторно отрабатывать те или иные концепции, если он уже усвоил их. Один из лучших и самых важных способов стимулирования сильных учеников состоит в том, чтобы дать им возможность глубже изучать концепции. Причем они могут делать это вместе с другими учениками, которые способны глубже проанализировать эти концепции в другие дни. В работе со своими студентами из Стэнфорда я использую такой метод: предложить тем, кто закончил задание, расширить его, двигаясь в новом направлении.

Недавно я поставила своим студентам из Стэнфорда задачу под названием «Раскрашенный куб» и раздала им коробки с кубиками сахара, чтобы они могли смоделировать ее (пример 9.7 и рис. 9.7).

ПРИМЕР 9.7. РАСКРАШЕННЫЙ КУБ

Представьте себе куб 5 × 5 × 5, внешние грани которого раскрашены в один цвет, причем этот куб состоит из меньших кубиков размером 1 × 1 × 1.

Ответьте на следующие вопросы.

У скольких маленьких кубиков будет 3 раскрашенные грани?

У скольких маленьких кубиков будет 2 раскрашенные грани?

У скольких маленьких кубиков будет 1 раскрашенная грань?

У скольких маленьких кубиков не будет раскрашенных граней?

Рис. 9.7. Раскрашенный куб 3 × 3 × 3

Некоторые студенты выполнили задачу, построив куб меньшей размерности (например, 3 × 3 × 3) из кубиков сахара, и разрисовали внешние грани, чтобы проанализировать распределение кубиков с разным количеством раскрашенных граней. Я сказала им, что после решения задачи для куба размерами 5 × 5 × 5 они могут расширить задачу каким угодно способом. Это была лучшая часть урока: у студентов появлялось гораздо больше возможностей для обучения, поскольку разные группы анализировали, например, как найти решение задачи с пирамидой вместо куба (рис. 9.8); одна группа анализировала соотношения в пирамиде, составленной из пирамид меньшего размера, а еще одна работала над соотношениями в случае перемещения куба в четвертое измерение, а затем и в n-е.

Рис. 9.8. Расширенная задача с кубом

Если дать ученикам возможность расширять задачи, они почти всегда находят творческие и увлекательные возможности для углубленного анализа математических концепций, что для них очень ценно.